Fraksjonert Brownsk Bevegelse Moving Average

Sterk tilnærming av brøkisk brune bevegelse ved å flytte gjennomsnitt av enkle tilfeldige turer Pl Rvsz i anledning av hans 65-årsdag Tams Szabados Institutt for matematikk, Budapests tekniske universitet, Egry u 20-22, H s. V em. Budapest, 1521, Ungarn Mottatt 19. desember 1999. Revidert 29. august 2000. Godkalt 4. september 2000. Tilgjengelig på nettet 9. februar 2001. Den brøkdelte brune bevegelsen er en generalisering av vanlig brunisk bevegelse, brukt spesielt når langvarig avhengighet kreves. Den eksplisitte introduksjonen skyldes Mandelbrot og van Ness (SIAM Rev. 10 (1968) 422) som en selvlignende Gauss-prosess W (H) (t) med stasjonære trinn. Her betyr selvlikning at hvor H (0,1) er Hurst-parameteren fra brøkbrune bevegelse. F. B. Knight ga en konstruksjon av vanlig brunisk bevegelse som en grense for enkle tilfeldige turer i 1961. Senere ble hans metode forenklet av Rvsz (Tilfeldig Walk i tilfeldig og ikke-tilfeldige miljøer, World Scientific, Singapore, 1990) og deretter av Szabados (Studia Sci Math. Hung. 31 (1996) 249297). Denne tilnærmingen er ganske naturlig og elementær, og som sådan kan det utvides til mer generelle situasjoner. Basert på dette bruker vi bevegelige gjennomsnittsverdier av en passende innlejret sekvens av enkle tilfeldige turer som nesten helt ensartet konvergerer til brøkbrune bevegelser på kompakte når. Konvergensraten viste seg i dette tilfellet, hvor N er antall trinn som brukes for tilnærming. Hvis den mer nøyaktige (men også mer intrikate) Komls et al. (1975,1976) tilnærming brukes i stedet for å legge inn tilfeldige turer i vanlig brunisk bevegelse, så samler den samme typen bevegelige gjennomsnitt nesten helt ensartet til brøkbrune bevegelser på kompaktene for hvilken som helst H (0,1). Videre er konvergensraten antatt å være best mulig, men det er bare vist her. Fraksjonal brunisk bevegelse Veibeskrivende konstruksjon Sterk tilnærming Tilfeldig gange Bevegelig gjennomsnitt 1 Fraksjonal brunisk bevegelse Fraksjonal brunisk bevegelse (fBM) er en generalisering av vanlig brunisk bevegelse (BM) som brukes spesielt når langvarig avhengighet er avgjørende. Selv om fBMs historie kan spores tilbake til Kolmogorov (1940) og andre, skyldes den eksplisitte introduksjonen Mandelbrot og van Ness (1968). Deres intensjon var å definere en selvlignende. sentrert Gaussisk prosess med stasjonære, men ikke uavhengige trinn og med kontinuerlige prøveveier a. s. Her betyr selvlikning at for en gt0, hvor H (0,1) er Hurst-parameteren til fBM og betegner likestilling i distribusjon. De viste at disse egenskapene karakteriserer fBM. Saken reduseres til vanlig BM med uavhengige trinn, mens tilfellene (resp.) Gir negativt (resp. Positivt) korrelerte trinn se Mandelbrot og van Ness (1968). Det ser ut til at i tilfeller av fBM er saken den mest brukte. Mandelbrot og van Ness (1968) ga følgende eksplisitte representasjon av fBM som et glidende gjennomsnitt av vanlig, men tosidig BM: hvor t 0 og (x) max (x, 0). Ideen om (2) er relatert til deterministisk fraksjonskalkulator. som har en enda lengre historie enn fBM, går tilbake til Liouville, Riemann og andre i Samko et al. (1993). Det enkleste tilfellet er når en kontinuerlig funksjon f og et positivt heltall er gitt. Deretter kan en induksjon med integrering av deler vise at rekkefølgen er iterert antiderivativ (eller ordreintegral) av f. På den annen side er dette integralet veldefinert for ikke-heltallige positive verdier i tillegg, i så fall kan det kalles en brøkdel av f. Så, heuristisk, er hoveddelen av (2) rekkefølgen som er integrert i den (i vanlige forstand ikke eksisterende) hvit støyprosess W (t). Dermed kan fBM W (H) (t) betraktes som en stasjonær økningsmodifisering av den brøkdelte integrerte W (t) av den hvite støyprosess, hvor. 2 Tilfeldig walk konstruksjon av vanlig brunisk bevegelse Det er interessant at en veldig naturlig og elementær konstruksjon av vanlig BM som en grense for tilfeldige turer (RW) virket relativt sent. Den matematiske teorien om BM begynte rundt 1900 med verkene fra Bachelier, Einstein, Smoluchowski og andre. Den første eksistenskonstruksjonen ble gitt av Wiener 1921 og Wiener 1923, som ble etterfulgt av flere andre senere. Knight (1961) introduserte den første konstruksjonen ved tilfeldige turer som senere ble forenklet av Rvsz (1990). Nåværende forfatter var heldig nok til å høre denne versjonen av konstruksjonen direkte fra Pl Rvsz på et seminar ved Budapests tekniske universitet et par år før publikasjonen av Rvszs bok i 1990 og ble umiddelbart fascinert av den. Resultatet av et forsøk på å forenkle det fremstod i Szabados (1996). Fra nå av vil uttrykket RW-konstruksjon alltid referere til den versjonen som diskuteres i sistnevnte. Det er asymptotisk ekvivalent med å bruke Skorohod (1965) å legge inn en nestet dyadisk sekvens av RW i BM, se Theorem 4 i Szabados (1996). Som sådan har det noen fordeler og ulemper i forhold til den berømte best mulig tilnærming av BM av delvise summer av tilfeldige variabler med momentgeneratorfunksjonen endelig om opprinnelsen. Sistnevnte ble oppnådd av Komls 1975 og Komls 1976. og vil bli forkortet KMT-tilnærming i oppfølgeren. De viktigste fordelene ved RW-konstruksjonen er at den er elementær, eksplisitt, bruker kun tidligere verdier for å konstruere nye, enkle å implementere i praksis, og svært egnet for tilnærming av stokastiske integraler, se Theorem 6 i Szabados (1996) og også Szabados ( 1990). Husk at KMT-tilnærmingen konstruerer partielle summer (for eksempel en enkel symmetrisk RW) fra BM selv (eller fra en i. i.d-sekvens av standard normale tilfeldige variabler) ved en intrikat sekvens av betingede kvantile-transformasjoner. Å bygge en ny verdi som den bruker til hele sekvensen (fortid og fremtidige verdier også). På den annen side er den store svakheten i RW-konstruksjonen at den gir en konvergensrate, mens frekvensen av KMT-tilnærmingen er best mulig, hvor N er antall trinn (vilkår) vurdert i RW. I oppfølgeren oppsummeres først hovedegenskapene til den ovennevnte RW-konstruksjonen. Da brukes denne RW konstruksjonen til å definere en tilnærming lik (2) av fBM ved å flytte gjennomsnitt av RW. Konvergensen og feilen til denne tilnærmingen diskuteres neste. Som en konsekvens av RW-konstruksjonens relativt svakere tilnærmingsegenskaper, vil konvergensen til fBM kun bli etablert for, og konvergenshastigheten vil heller ikke være best mulig. For å kompensere for dette, på slutten av papiret drøfter vi konvergens - og feilegenskapene til en lignende konstruksjon av fBM som bruker KMT-tilnærming i stedet, som konvergerer for alle H (0,1) og hvis konvergensrate kan formodes å være best mulig når tilnærming av fBM ved å flytte gjennomsnitt av RWs. RW konstruksjonen av BM oppsummert her er hentet fra Szabados (1996). Vi starter med en uendelig matrise av i. i.d. tilfeldige variabler X m (k), definert på samme underliggende sannsynlighetsrom. Hver rad av denne matrisen er grunnlag for en tilnærming av BM med en viss dyadisk trinnstørrelse t 2 2 m i tid og en tilsvarende trinnstørrelse x 2 m i rommet, illustrert ved neste tabell. Det andre trinnet i konstruksjonen er vridning. Fra de uavhengige tilfeldige turene (dvs. fra radene i Tabell 1) ønsker vi å lage avhengige, slik at hver etterfølgende RW etter en krympende tidsmessig og romlig trinnstørrelse blir en forfining av den forrige. Siden den romlige enheten vil bli halvert i hver på rad, definerer vi stoppetider med T m (0) 0, og for k 0, Dette er tilfeldige tidstillegg når en RW besøker like heltall, forskjellig fra den forrige. Etter å ha krympet den romlige enheten med halvparten, vil en passende modifikasjon av denne RW besøke de samme heltall i samme rekkefølge som forrige RW. (Dette er hva vi kaller en raffinement.) Vi vil operere her på hvert punkt i prøveplassen separat, dvs. vi fastsetter en prøvebane for hver RW som vises i tabell 1. Dermed er hver bro S m (T m (k 1)) S m (T m (k)) må etterligne det tilsvarende trinnet X m 1 (k 1) i forrige RW. Vi definerer vridne RWs rekursivt for m 1,2,3, ved å bruke, fra og med (n 0). Med hver faste m fortsetter vi for k 0,1,2, suksessivt, og for hver n i den tilsvarende broen, T m (k) lt T (k 1). En hvilken som helst bro er vendt hvis tegnet er forskjellig fra ønsket (figur 1. figur 2 og figur 3): og deretter. Deretter er hver (n 0) fortsatt en enkel, symmetrisk RW se Lemma 1 i Szabados (1996). Videre har de vridne RW'ene den ønskede raffinementegenskapen: Det siste trinnet i RW-konstruksjonen krymper. Prøvebanene til (n 0) kan utvides til kontinuerlige funksjoner ved lineær interpolering. På denne måten blir man (t 0) for ekte t. Deretter definerer vi den nærmeste approximasjonen av BM (se figur 4) ved å sammenligne tre trinn av en prøvebane med den første tilnærming B 0 (t) og den tilsvarende delen av den andre tilnærming B 1 (t) på figur 1 og fig 4. Den andre besøker de samme heltallene (forskjellig fra den forrige) i samme rekkefølge som den første, slik at den etterligner den første, men de tilsvarende tidsinnstillingene varierer generelt: 2 2 T 1 (k) k. Tilsvarende innebærer (3) den generelle forfinningsegenskapen, men det er en tidsforsinkelse generelt. Den grunnleggende ideen til RW-konstruksjonen av BM er at disse tidsringene blir jevnt små hvis m blir stor nok. Det kan bevises ved følgende enkle lemma. Tabell 1. Utgangspunktet for RW-konstruksjonen av BM Ikke overraskende, innebærer denne og raffinementegenskapen (5) den ensartede nærhet av to påfølgende tilnærminger til BM hvis m er stor nok. Denne lemma sikrer a. s. ensartet konvergens av RW-tilnærmingene på kompakte intervaller, og det er klart at grenseprosessen er Wiener-prosessen (BM) med kontinuerlige prøveveier nesten sikkert. Stilling 1 RW-tilnærming a. s. konvergerer ensartet til en Wiener-prosess på et hvilket som helst kompakt intervall. For noen og for noen m m 2 (C) har vi Resultatene som er angitt ovenfor, samsvarer med Lemma 2. Lemma 3 og Lemma 4 og Theorem 3 i Szabados (1996). Vi nevner at uttalelsene som presenteres her er gitt i noe skarpere former, men de kan leses enkelt fra bevisene i referansen ovenfor. 3 En langsgående tilnærming av brøkisk brune bevegelse En nesten sikkert konvergent veibeskrivelse av fBM ble gitt av Carmona og Coutin (1998) som representerer fBM som en lineær funksjonell av en uendelig dimensjonal Gauss-prosess. En annen veibeskrivelse ble gitt av Decreusefond og stnel 1998 og Decreusefond og stnel 1999 som konvergerer i L 2-sansen. Denne konstruksjon bruker diskrete tilnærminger av den bevegelige gjennomsnittlige representasjon av fBM (2). basert på deterministiske partisjoner av tidsaksen. Mer nøyaktig, (2) er erstattet av et integral over kompaktintervallet 0, t, men med en mer komplisert kjerne som også inneholder en hypergeometrisk funksjon. Tilnærmingen til fBM som diskuteres her, vil også være en diskret versjon av fBMs bevegelige gjennomsnittlige representasjon (2), men dyadiske partisjoner blir tatt på BMs romlige akse, slik at man får tilfeldige partisjoner på tidsaksen. Dette er asymptotisk en Skorohod-type innlejring av nestede RWs i BM. Som et resultat, i stedet for integral har vi sum, og BM er substituert med den nestede, raffinerende sekvensen av dens RW-tilnærminger diskutert i forrige seksjon. Siden (2) inneholder tosidig BM, trenger vi to slike sekvenser: en til høyre og en for venstre halvakse. Fra nå av skal vi bruke følgende notater: m 0 er et heltall, t 2 2 m. . Ved å presentere kjernen er den mth-tilnærmingen av fBM per definisjon Bm (H) (0) 0, og for positive heltall k, hvor konvensjonen 0 H 12 0 påføres jevnt for negative eksponenter. Det er nyttig å skrive B m (H) i en annen form som bruker en diskret versjon av integrasjon av deler. Begynn med (8) og omarrangere det etter B m (tr), får man for k 1 at Denne måten vi har en diskret versjon av, er det man får fra (2) ved hjelp av en formell integrasjon av deler (se Lemma 5 nedenfor). For å støtte ovennevnte definisjon viser vi at B m (H) har egenskaper som er analoge med de karakteriserende egenskapene til fBM i en diskret innstilling. (a) B m (H) er sentrert (klar fra definisjonen) og har stasjonære trinn. Hvis k 0 og k er ikke-negative heltall, da er (b) B m (H) omtrentlig selvlignende i følgende betydning: Hvis en 2 2 m 0. hvor m 0 er et heltall, m 0 m. da viser for hvert k-negativt heltall for hvilket ka også er et heltall, at Lemma 4 (og Theorem 2) nedenfor viser at B m (H) og B m 1 (H) (og B mn ( H)) er jevnt nære med vilkårlig stor sannsynlighet på et kompakt intervall hvis m er stor nok (når). Det kunne påvises på samme måte som for en j. hvor j 0 er et vilkårlig heltall, 2 2 n j 2 2 (n 1) med et heltall n 0, kan de endelige dimensjonale fordelingene av vilje gjøres nært til de endelige dimensjonsfordelingene av B m n (H) dersom m er stor nok. Følgelig er B m (H) vilkårlig nær selvlignende for enhver dyadisk j 2 2 m 0 hvis m er stor nok. (c) For en hvilken som helst 0 tt l lt t n. grensefordelingen av vektoren som m er gaussisk. hvor . Dette faktum følger av Theorem 2 (basert på Lemma 5) nedenfor som sier at prosessen B m (H) nesten sikkert konvergerer til Gauss-prosessen W (H) på kompakte intervaller. 4 Konvergens av tilnærmingen til fBM I første omgang vil det bli vist at to påfølgende tilnærminger av fBM definert av (8). eller ekvivalent med (9). er jevnt tett hvis m er stort nok, antar. Tilsynelatende er ovennevnte RW-tilnærming av BM ikke god nok til å ha konvergens for. Når det blir konvergens, vil en stor avvikslikhet lik Lemma 1 spille en viktig rolle. Hvis X 1, X 2, er en sekvens av i. i.d. tilfeldige variabler, og S r a r X r. hvor ikke alle er null og deretter (se for eksempel Stroock, 1993, s. 33). Summen ovenfor kan strekke seg enten til endelige mange eller til mange mange termer. Som en følge, hvis S1, S2, SN er vilkårlig summer av den ovennevnte typen, kan man få følgende analog av Lemma 1. For noen C gt1 og N1, vil man derfor få (19) resultatet med unntak av et sett av sannsynlighet maksimalt 2 (K 2 2 m) 1 C. hvor og C gt1 er vilkårlig. (d) Maksimum U m, k. Vi deler halvlinjen i lengdeintervaller L. hvor L 4 K. For definisjon, velg L 4 K. Bortsett fra dette vil denne delen være lik del (b). I oppfølgeren bruker vi konvensjonen at når den nedre grensen til en summering er et reelt tall x. Summen starter ved x, og på samme måte hvis den øvre grensen er y. Summen slutter ved y. Ved (17) gir Lemma 3 en øvre grense for den maksimale forskjellen mellom to påfølgende tilnærminger til BM hvis j 1 er en vilkårlig fast verdi: med unntak av et sett av sannsynlighet maksimalt 3 (jL 2 2 m) 1 C. hvor C gt1 er vilkårlig og m m 1 (C). Dette betyr for alle C 3 og mm 1 (C) at ovennevnte ulikhet (24) holder samtidig for alle j 1,2,3, med unntak av et sett av sannsynlighet for det meste For den andre hovedfaktoren i (23) binomial serier brukes som ovenfor, med og v 1: I det andre tilfellet når ovennevnte metode tilsynelatende gir konvergens her (akkurat som i del (b)) bare når: for alle C 3 og mm 1 (C) med unntak av et sett med sannsynlighet maksimalt (K 2 2 m) 1 C. Nå kan man kombinere resultatene av delene (a) (d), se (18). (20). (21). (22). (27) og (28). for å få tak i lemmaets uttalelse. Husk at konvergensraten i delene (a) og (c) er raskere enn den i delene (b) og (d). Vær spesielt oppmerksom på at det er en faktor m i (b) og (d) som har en motpart m 12 i (a) og (c). Siden i uttalelsen av denne lemmaen vi bare erstattet de raskere konvergerende faktorene av de langsommere konvergerende, kan de konstante multiplikatorene i (a) og (c) ignoreres dersom m er stor nok. Det er enkelt å forlenge formel (9) av den nærmeste tilnærming B m (H) til fBM til reelle argumenter t ved lineær interpolering, akkurat som i tilfellet av den nærmeste tilnærming B m (t) på vanlig BM se f. eks. i Szabados (1996). Så la m 0 og k 0 være heltall, 0,1, og definer. Deretter har de resulterende kontinuerlige parametertilnærminger av fBM B m (H) (t) (t 0) kontinuerlige, stykkvis lineære prøveveier. Med denne definisjonen er vi klare til å oppgi et hovedresultat av dette papiret. hvor (H, K) og er det samme som i Lemma 4. (Saken er beskrevet ved teorem 1.) bortsett fra en sannsynlighet på høyst 8 (K 2 2 m) 1 C. Siden både B m 1 (H) (t) og B m (H) (t) har stykkevis lineære prøvebaner, må deres maksimale forskjell forekomme ved hjørner av prøvebanene. La M m betegne den maksimale økningen av B m (H) mellom par punkter t k, t k 1 i 0, K: bortsett fra en sannsynlighet på maksimalt 2 (K 2 2 m) 1 C. jfr (31) nedenfor. En prøvebane av B m 1 (H) (t) gjør fire trinn på et hvilket som helst intervall t k, t k 1. For å beregne sin maksimale avvik fra D m er det nok å anslå endringen mellom midtpunktet og et sluttpunkt for et slikt intervall, i to trinn fra både venstre og høyre endepunkt: bortsett fra en begivenhet med sannsynlighet maksimalt 2 (K 2 2 (m 1)) 1 C. Derfor unntatt for en hendelse av sannsynlighet i det meste. Forklaringen ovenfor viser at det samtidig gir den øvre grensen vi leter etter, bortsett fra en høyest sannsynlighetssannsynlighet (82 32 C) (K 2 2 m) 1 C. Deretter kan et lignende argument brukes som i beviset på Lemma 4. se f. eks. del (a) der: Dermed tar N K 2 2 m og C gt1 i (12). og ved hjelp av (19) får man for m 1 at med unntak av et sett av sannsynlighet maksimalt 2 (K 2 2 m) 1 C. hvor K gt0 og C gt1 er vilkårlig. bortsett fra at det er en sannsynlighet på maksimalt 8.125 (K 2 2 m) 1 C hvor (H, K) og (H) er de samme som i Lemma 4. Husk at konvergensen i (31). akkurat som i del (a) og (c) av beviset på Lemma 4. er raskere enn det i del (b) og (d) av beviset. Bortsett fra konstante multiplikatorer, har resultatet av (31) samme form som resultatene av (a) og (c) der. Siden i setningen av denne setningen vi bare erstattet de raskere konvergerende faktorene av de langsommere konvergerende, kan de konstante multiplikatorene av (31) ignoreres dersom m er stor nok. Derfor er den (H, K) definert av Lemma 4 også egnet her. Derfor kan man få det ved at BorelCantelli lemma innebærer at med sannsynlighet 1, sampler stier av B m (H) (t) ensartet til en prosess W (H) (t) på et kompakt intervall 0, K. Deretter har W (H) (t) kontinuerlige prøveveier, og arver egenskapene til B m (H) (t) beskrevet i avsnitt 3. Det er en sentrert, selvliknende prosess med stasjonære trinn. Som Lemma 5 nedenfor innebærer, er prosessen så definert Gaussisk. Derfor er W (H) (t) en fBM og ved (33) er konvergensraten til tilnærmingen den som er angitt i stellingen. Målet med neste lemma til å vise at integrasjon av deler er i hovedsak gyldig for (2) som representerer W (H) (t), noe som resulterer i en formel som ligner på (10). Deretter følger det at det kan være stokastisk vilkårlig godt tilnærmet av en lineær transformasjon av Gauss-prosessen, så det er også Gaussisk. Etter andre semester på høyre side av (37) går vi til tredje sikt. Ta nå noen (0, 0). Siden h (s, t) har kontinuerlig partiell derivat w. r.t. s på intervaller 1, og, t og ved teorem 1. B m a. s. sammenlikner til Wiener-prosessen W i disse intervaller, viser sammenligning (35) og (36) at det med dette eksisterer en slik at Stilling 1 også innebærer at m kan velges slik at for fjerde sikt i (37) en på samme måte Endelig har teorem 2 (eller med modifisert konstruksjon, teorem 3 nedenfor) garantert at m kan velges slik at første termen i (37) tilfredsstiller samme ulikhet: De siste fire formlene sammen beviser lemma. 5 Forbedret konstruksjon ved hjelp av KMT-tilnærming Delene (b) og (d) av beviset på Lemma 4 ga dårligere konvergensnivå enn delene (a) og (c), der prisene kan formodes å være best mulig. Årsaken til dette er tydeligvis den relativt svakere konvergensraten til RW-tilnærming av vanlig BM, som ble brukt i delene b og d, men ikke i delene (a) og (c). Det er også klart derfra at bruk av best mulig KMT-tilnærming i stedet ville eliminere denne svakheten og vil gi forhåpentligvis den beste mulige frekvensen her også. Prisen man må betale for dette er den intrikate og fremtidige avhengige prosedyren som KMT-metoden konstruerer passende tilnærmet RWer fra BM. Resultatet vi trenger fra Komls 1975 og Komls 1976 er som følger. Anta at man ønsker å definere en i. i.d. sekvens X 1, X 2, av tilfeldige variabler med en gitt fordeling, slik at de delvise summene er så nær BM som mulig. Anta at E (X k) 0, Var (X k) 1 og øyeblikkegenererende funksjon E (e uX k) lt for. La S (k) X 1 X k. k 1 være delbeløpene. Hvis BM W (t) (t 0) er gitt, så eksisterer det for en hvilken som helst n 1 en sekvens av betingede kvantiltransformasjoner anvendt på W (1), W (2) ,, W (n) slik at man oppnår den ønskede partielle summene S (1), S (2) ,, S (n) og forskjellen mellom de to sekvensene er minst mulig: for enhver x gt0, hvor C 0, K 0, er positive konstanter som kan avhenge av fordelingen av X k. men ikke på n eller x. Videre kan det gjøres vilkårlig stort ved å velge en stor nok C 0. Å ta her en får hvor n 1 er vilkårlig. Løs et heltall m 0, og innfør de samme notatene som i tidligere seksjoner:. Deretter multipliserer den indre ulikheten i (42) med 2 m og bruker selvlikt (1) av BM (med) for å oppnå en krympet RW (0 k K 2 2 m) fra de tilsvarende dyadiske verdiene W (tk) (0 k) K 2 2 m) av BM ved en sekvens av betingede kvantiltransformasjoner slik at med unntak av et sett av sannsynlighet mindre enn K 0 (K 2 2) C 0. for noen m 1 og K gt0. Her (19) ble også brukt. Deretter (43) innebærer for forskjellen på to påfølgende tilnærminger at for enhver m 1 og K gt0. Dette er akkurat det vi trenger for å forbedre konvergensen i delene (b) og (d) av Lemma 4. Erstatt disse KMT tilnærmingene til definisjon (8) eller (9) av B m (H) (t k). På denne måten kan man oppnå raskere konvergerende tilnærminger av fBM. Da er alt over i 3 og 4 fortsatt gyldig, bortsett fra at man kan bruke den forbedrede formelen (44) i stedet for Lemma 3 på delene b og d i Lemma 4. På denne måten, i stedet for (21) man får for noen m 1, bortsett fra et sett av sannsynlighet mindre enn 2 K 0 (K 2 2) C 0. Også av (44). i stedet for (24) og (25) har man de forbedrede ulikhetene: med unntak av et sett av sannsynlighet mindre enn 2 K 0 (jL 2 2) C 0. hvor m 1. Hvis C 0 er valgt stor nok slik at C 0 2, deretter (46) holder samtidig for alle j 1,2,3, bortsett fra et sett av sannsynlighet mindre enn (Husk at vi valgte L 4 K delvis (d) av beviset på Lemma 4.) Bruk deretter dette i del (d) av Lemma 4. i stedet for (26) må man anslå deretter i stedet for (27) og (28). De forbedrede resultatene er som følger. Først i tilfelle har man for noen m 1 og C 0 stor nok slik at C 0 2, bortsett fra et sett av sannsynlighet mindre enn gitt av (47). Nå i tilfelle følger det at for enhver m 1 og C 0 stor nok slik at C 0 2, bortsett fra et sett av sannsynlighet mindre enn gitt av (47). Som et resultat er det konvergens for noe H (0,1). Siden KMT-tilnærmingen selv har best mulig hastighet for tilnærming av vanlig BM ved RW, kan det antages at de resulterende konvergensratene i neste lemma og teorem også er best mulige (bortsett fra konstante multiplikatorer) for tilnærming av fBM ved å flytte gjennomsnitt på en RW . Bevis Kombiner resultatene av delene (a) og (c) i beviset på Lemma 4 og de forbedrede ulikhetene ovenfor, det vil si (18). (20). (45). (22) og (48). og (49). Her erstatter vi også de raskere konvergerende faktorene av de langsommere konvergerende, men de konstante multiplikatorene av raskere konvergerende termer kan ikke ignoreres, siden lemma er oppgitt for noen m 1. Nå kan vi forlenge de forbedrede tilnærmingene til fBM til virkelige argumenter ved lineær interpolering, på samme måte som vi gjorde med de opprinnelige tilnærmingene, se (29). På denne måten får vi kontinuerlige parameterimodeller (t 0) for m 0,1,2 ,, med kontinuerlige, stykkvis lineære prøveveier. Nå kan vi angi det andre hovedresultatet av dette papiret. hvor og er det samme som i Lemma 6. (Med andre ord. i definisjonen av i Lemma 6 må den konstante multiplikator 10 bli endret til 20 her.) Konstantene er definert ved KMT-tilnærmingen (41) med C0 valgt så stor at C 0 2. Saken er beskrevet av (43). Bevis Beviset kan følge linjen i beviset til Stilling 2 med ett unntak: de konstante multiplikatorene i (31) og dermed i (30) kan ikke ignoreres her. Dette var grunnen til at multiplikatoren til Lemma 6 måtte endres i setningens setning. Det kan formodes at den beste tilnærmelsesgraden for fBM ved å flytte gjennomsnitt av enkle RW er, hvor N er antall poeng som vurderes. Selv om det er helt mulig at definisjonen ovenfor, se (8) med KMT-tilnærmingene, leverer denne konvergensen for noen H (0,1), men i Stilling 3 kunne vi kun bevise denne frekvensen når. En mulig forklaring kan være at i delene (b) og (d) av Lemma 4 separerte vi maksimene til kjernen og integratordelene. Som et resultat var konvergensfrekvensen vi kunne bevise når det er det samme som den opprinnelige KMT-tilnærmingen (43) gir for vanlig BM, hvor N K 2 2 m. selv om det i dette tilfellet er prøvebanene til fBM jevnere enn BM. (Se f. eks. Decreusefond og stnel, 1998.) På den annen side er den oppnådde konvergensraten verre enn dette, men fortsatt antatt å være best mulig, når, som heuristisk kan forklares av de mer zigzagged prøvebanene til fBM i dette tilfellet. Referanser Carmona og Coutin 1998 P. Carmona. L. Coutin Fraksjonal Brownian Motion og Markov Property Elect. Komm. Probab. Volum 3. 1998. s. 95107 Decreusefond og stnel 1998 Decreusefond, L. stnel, A. S. 1998. Fraksjonal brunisk bevegelse: Teori og applikasjoner. Systmes Diffrentiels Fractionnaires, ESAIM Proceedings 5, Paris, s. 7586. Decreusefond og stnel 1999 L. Decreusefond. SOM. Stnel Stokastisk analyse av den brøkiske brune bevegelsen Potensial Anal. Volum 10. 1999. s. 174214 Feller 1966 W. Feller En introduksjon til sannsynlighetsteori og dens anvendelser, vol. II. 1966. Wiley, New York Knight 1961 F. B. Knight På tilfeldig gang og Brownian bevegelse Trans. Amer. Matte. Soc. Bind 103. 1961. s. 218228 Kolmogorov 1940 A. N. Kolmogorov Wienersche Spiralen og andre interessante Kurven i Hilbertschen Raum Doklady A. N. S. S.S. R. Volum 26. 1940. pp. 115118 Komls 1975 J. Komls. P. Major. G. Tusndy En tilnærming av delvise summer av uavhengige RVs, og prøven DF. Jeg Z. Wahrscheinlichkeitstorie verw. Gebiete. Bind 32. 1975. s. 111131 Komls 1976 J. Komls. P. Major. G. Tusndy En tilnærming av delvise summer av uavhengige RVs, og prøven DF. II Z. Wahrscheinlichkeitstorie verw. Gebiete. Volum 34. 1976. s. 3358 Mandelbrot og van Ness 1968 B. B. Mandelbrot. J. W. Van Ness Fraksjonal Brownies, fraksjonelle lyder og applikasjoner SIAM Rev. Volume 10. 1968. pp. 422437 Rvsz 1990 P. Rvsz Tilfeldig Walk i tilfeldige og ikke-tilfeldige omgivelser. 1990. World Scientific, Singapore Samko 1993 S. S. Samko. A. A. Kilbas. O. I. Marichev Fraksjonelle Integraller og Derivater. 1993. Gordon amp Breach Science, Yverdon Skorohod 1965 A. V. Skorohod Studier i Theory of Random Processes. 1965. Addison-Wesley, Reading, MA Stroock 1993 D. W. Stroock Sannsynlighetsteori, en analytisk visning. 1993. Cambridge University Press, Cambridge Szabados 1990 Szabados, T. 1990. En diskret Dens formel. Coll. Matte. Soc. Jnos Bolyai 57. Begrensninger i sannsynlighet og statistikk, Stk. (Ungarn) 1989. Nord-Holland, Amsterdam, s. 491502. Szabados 1996 T. Szabados En grunnleggende introduksjon til Wiener-prosessen og stokastiske integraler Studia Sci. Matte. Hung. Volum 31. 1996. pp. 249297 Wiener 1921 N. Wiener Gjennomsnittet av en analytisk funksjonell og Brownian-bevegelsen Proc. Nat. Acad. Sci. USA, volum 7. 1921. s. 294298 Wiener 1923 N. Wiener Differensiell plass J. Math. Phys. Volum 2. 1923. pp. 132174 Copyright 2001 Elsevier Science B. V. Alle rettigheter reservert. Siterer artikler () Gaussian glidende gjennomsnitt, semimartingales og alternativ prising Patrick Cheridito. Matematisk institutt, ETH Zrich, CH-8092 Zrich, Sveits Mottatt 30. januar 2003. Revidert 11. juni 2003. Godkjent 18. august 2003. Tilgjengelig på nettet 21. september 2003. Vi gir en karakterisering av de gaussiske prosessene med stasjonære trinn som kan representeres som et glidende gjennomsnitt med hensyn til en tosidig brunisk bevegelse. For en slik prosess gir vi en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for å være en semimartingale med hensyn til filtreringen generert av den tosidige Brownian-bevegelsen. Videre viser vi at denne tilstanden innebærer at prosessen er enten av endelig variasjon eller et flertall av en brunisk bevegelse med hensyn til et tilsvarende sannsynlighetstiltak. Som en applikasjon diskuterer vi problemet med opsjonsprising i økonomiske modeller drevet av Gaussian glidende gjennomsnitt med stasjonære inkrementer. Spesielt oppnår vi alternativpriser i en regulert brøkdel av BlackScholes-modellen. Gaussiske prosesser Flytte gjennomsnittlig representasjon Semimartingales Tilsvarende martingale tiltak Valgmuligheter 1 Innledning La være et sannsynlighetsrom utstyrt med en tosidig brunisk bevegelse, det vil si en kontinuerlig sentrert Gauss-prosess med kovarians For en funksjon som er null på den negative reelle akse og tilfredsstiller for alle t gt0 kan man definere den sentriske Gauss-prosessen med stasjonære inkrementer. Formålet med dette papiret er å studere prosesser i skjemaet (1.1) med sikte på økonomisk modellering. Hvis (X t) t 0 er en stokastisk prosess på, betegner vi den minste filtreringen som tilfredsstiller de vanlige antagelsene og inneholder filtreringen. Ved å betegne den minste filtreringen som tilfredsstiller de vanlige antagelsene og inneholder filtreringen. Papirstrukturen er som følger. I del 2 husker vi et resultat av Karhunen (1950). som gir nødvendige og tilstrekkelige forhold for en stasjonær sentrert Gauss-prosess som kan representere i form der. I avsnitt 3 gir vi en karakterisering av de prosessene i skjemaet (1.1) som er - importerende, og vi viser at de er enten endelige variasjonsprosesser, eller for hver T (0,) eksisterer det et ekvivalent sannsynlighetsmål under hvilket t) t 0, T er et flertall av en brunisk bevegelse. I avsnitt 4 bruker vi en transformasjon introdusert i Masani (1972) for å etablere en en-til-en korrespondanse mellom stasjonære sentrerte Gauss-prosesser og sentrert Gauss-prosesser med stasjonære trinn som er null for t 0. Dette gjør at vi kan utvide Karhunens resultat til sentrert Gaussian prosesser med stasjonære trinn og for å vise at hver prosess i formularen (1.1) kan tilnærmet seg ved halvformalene i skjemaet (1.1). Ved å overføre resultatene fra Seksjon 3 tilbake til rammen av stasjonære sentrert Gauss-prosesser, oppnår vi en forlengelse av Stor 6.5 av Knight (1992). som gir en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for en prosess av formen (1.2) for å være en - implemental. I avsnitt 5 diskuterer vi problemet med opsjonsprising i finansielle modeller drevet av prosesser i skjemaet (1.1). Som et eksempel pris vi et europeisk anropsalternativ i en regulert fraksjonal BlackScholes-modell. 2 Stasjonære gaussiske bevegelige gjennomsnitt Definisjon 2.1 En stokastisk prosess er stasjonær hvis for alle, hvor det betegnes likestilling av alle endelige dimensjonale fordelinger. Definisjon 2.2 Ved S betegner vi sett med funksjoner slik at (t) 0 for alle t lt0. Hvis S. vi kan for alle, definere i L 2 - sense. Det er klart at det er en stasjonær sentrert Gauss-prosess. Om mulig velger vi en kontinuerlig versjon. Eksempel 2.3 La, for en gt0. Så, S. og er en stasjonær OrnsteinUhlenbeck-prosess. Bemerkning 2.4 La S. Det kan vises ved tilnærming med kontinuerlige funksjoner med kompakt støtte, og dermed er t X t en kontinuerlig kartlegging fra til. Videre, hvor betegner L2-lukningen av det lineære spekteret av et sett med kvadrat-integrerbare tilfeldige variabler. Følgende teori følger av Satz 5 i Karhunen (1950). Teorem 2.5 (Karhunen, 1950) La være en stasjonær, sentrert Gauss-prosess slik at nøyaktig de samme argumentene som viser at standard BlackScholes-modellen er arbitragefri og fullstendig, kan brukes til å bevise at det samme gjelder for modellen ( 5.1). Spesielt er den unike rettferdige prisen på et europeisk anropsalternativ med forfall T og aksjekurs K gitt av If er av skjemaet (i) eller (ii), så kan det lett reguleres: Velg en vilkårlig volatilitet v gt0. Ved forslag 4.4. det finnes for alle gt0 en funksjon av skjemaet (iii) slik at og Bemerkning 5.1 (1) La SI I med (0) 0. Åpenbart avhenger prosessen (Y t) t 0, T av hele funksjonen. På den annen side avhenger alternativprisen (5.2) bare av (0). Årsaken til dette er at opsjonsprisen gitt av (5.2) er den minimale mengden av innledende formue som trengs for å replikere opsjonsutbetalingen med en handelsstrategi som kan justeres kontinuerlig i tid, og det kan ses fra (3,9) at volatiliteten til modellen (5.1) er gitt av (0). (2) Ved å erstatte funksjonen SI i representasjonen (3.3) med en egnet stokastisk prosess (t) t, T med verdier i SI. Det skal være mulig å utvide modeller av skjemaet (5.1) til modeller med stokastisk volatilitet. Eksempel 5.2 (Regularized fractional BlackScholes modell) La for en positiv konstant. og c H som i eksempel 3.3 (b). Da er prosessen lik, hvor er en standard fBm, og den tilsvarende modellen (5.1) er en brøkdel av BlackScholes-modellen. For en diskusjon av empiriske bevis på korrelasjon i aksjekursavkastning, se f. eks. Cutland et al. (1995) eller Willinger et al. (1999) og referansene deri. I Klppelberg og Khn (2002) er fraksjonelle eiendomsprismodeller motivert av en demonstrasjon om at fBm kan ses som en grense for Poisson-støynivåprosesser. Det følger imidlertid av Stilling 3.9 (b) at (B t H) t 0 er T ikke en semimartingale med hensyn til filtreringen, og det er velkjent at det ikke er en semimartingale i sin egen filtrering heller (for et bevis Se eksempel 4.9.2 i Liptser og Shiryaev (1989). For et generelt bevis, se Maheswaran og Sims (1993) eller Rogers (1997)). Det følger av Theorem 7.2 i Delbaen og Schachermayer (1994) at det eksisterer en gratis lunsj med forsvindende risiko som består av enkle forutsigbare handelsstrategier. En tidlig diskusjon om forekomsten av arbitrage i fBm-modeller finnes i Maheswaran og Sims (1993). I Rogers (1997) er en arbitrage for en lineær fBm-modell konstruert, og det er vist at fBm kan omdannes til en semimartingale ved å endre funksjonen nær null. Arbitrage-strategiene gitt i Shiryaev (1998) og Salopek (1998) arbeider for lineære og eksponentielle fBm-modeller med. I Cheridito (2003) er arbitrage for lineære og eksponentielle fBm modeller konstruert for alle. For å regulere den brøkdelte BlackScholes-modellen, kan vi endre funksjonen (5.3) som følger: For v gt0 og d gt0, definer Det er klart at for gitt v gt0, kan det derfor vises som i beviset på Prospekt 4.4 som for alle gt0 finnes det ad gt0 slik at på den annen side, siden funksjonen v, d er av skjema (iii), er den tilsvarende modellen (5.1) arbitrasjonsfri og fullført, og prisen på et europeisk anropsalternativ er gitt av (5.2). Bekreftelser Dette papiret vokste ut av et kapittel av forfatterens doktorgradsavhandling utført på ETH Zrich under oppsyn av Freddy Delbaen. Forfatteren er takknemlig til Jan Rosinski og Marc Yor for nyttige kommentarer og til Yacine At-Sahalia for en invitasjon til Bendheim senter for finans i Princeton, hvor en del av papiret ble skrevet. Finansiell støtte fra Swiss National Science Foundation og Credit Suisse er takknemlig anerkjent. Referanser Black and Scholes 1973 F. Black. M. Scholes Prissetting av opsjoner og selskapsforpliktelser J. Polit. Økonomi. Volum 81. 1973. s. 637659 Cheridito 2002 P. Cheridito Sensitivitet av BlackScholes-opsjonsprisen til den lokale stiadferansen til stokastisk prosessmodellering av den underliggende aktiva Proc. Steklov Inst. Matte. Volum 237, 2002. pp. 225239 Cheridito 2003 P. Cheridito Arbitrage i brøkdelte brune-bevegelsesmodeller Finans Stochast. Volum 7. Utgave 4. 2003. pp. 533553 Cherny 2001 Cherny, A. 2001. Når er et glidende gjennomsnitt en semimartingale forskningsrapport nr. 2001-28, MaPhySto, Danmark. Cutland 1995 N. J. Cutland. P. E. Kopp. W. Willinger Aksjekursavkastning og Joseph-effekten en brøkdel av BlackScholes-modellen Prog. Probab. Volum 36. 1995. pp. 327351 Delbaen og Schachermayer 1994 F. Delbaen. W. Schachermayer En generell versjon av grunnleggende teorem av eiendomsprising Math. Ann. Volum 300. Utgave 3. 1994. s. 463520 Embrechts og Maejima 2002 Embrechts, P. Maejima, M. 2002. Selvforståelige prosesser. Princeton-serien i anvendt matematikk. Princeton University Press, Princeton, NJ. Emery 1982 M. Emery Corvariance des semimartingales gaussiennes C. R. Acad. Sci. Paris Sr. I Math. Volum 295. Utgave 12. 1982. pp. 703705 Galchouk 1984 Galchouk, L. I. 1984. Gaussian semimartingales. Statistikk og kontroll av stokastiske prosesser (Moskva), Transl. Ser. Matte. Engrg. Optimaliseringsprogramvare, New York, s. 102121. Harrison 1984 J. M. Harrison. R. Pitbladdo. S. M. Schaefer Kontinuerlige prisprosesser i friksjonsløse markeder har uendelig variasjon J. Business. Volum 57. 1984. pp. 353365 Hitsuda 1968 M. Hitsuda Representasjon av Gauss-prosesser tilsvarende Wiener-prosessen Osaka J. Math. Volum 5. 1968. s. 299312 Jain og Monrad 1982 N. C. Jain. D. Monrad Gaussian Quasimartingales Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. Volum 59. Utgave 2. 1982. s. 139159 Jeulin og Yor 1993 Jeulin, T. Yor, M. 1993. Moyennes mobiles et semimartingales. Sminaire de Probabilits, vol. XXVII, forelesningsnotater i matematikk, nr. 1557, Springer, Berlin, s. 5377. Karatzas og Shreve 1991 I. Karatzas. S. E. Shreve Brownian Motion og Stokastisk Calculus. 1991. Springer, Berlin Karhunen 1950 K. Karhunen ber dø Struktur stationrer zuflliger Funksjonen Ark. Mat. Volum 1. Utgave 3. 1950. s. 141160 Klppelberg og Khn 2002 Klppelberg, C. Khn, C. 2002. Fraksjonal brunisk bevegelse som en svak grense for Poisson-støynivåprosessene med søknad om finansiering. Førtrykk. Knight 1992 F. B. Knight Foundations of the Prediction Process. 1992. Oxford University Press, Oxford Kolmogorov 1940 A. N. Kolmogorov Wienersche Spiralen og andre interessante Kurven i Hilbertschen Raum C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N. S.). Volum 26. 1940. pp. 115118 Liptser og Shiryaev 1989 R. Sh. Liptser. A. N. Shiryaev Theory of Martingales. 1989. Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, Hinghant, MA Maheswaran og Sims 1993 Maheswaran, S. Sims, C. A. 1993. Empiriske implikasjoner av arbitragefrie eiendomsmarkeder. Modeller, Metoder og Anvendelser av Econometrics, Peter, C. Phillips, B. (red.), Basil Blackwell, Oxford. Mandelbrot og Van Ness 1968 B. B. Mandelbrot. J. W. Van Ness Fraksjonelle brune bevegelser, fraksjonelle lyder og applikasjoner SIAM Rev. Volum 10. 1968. s. 422437 Masani 1972 P. Masani På helixer i Hilbert plass I. Teorien Probab. Appl. Volum 17. 1972. s. 119 Protter 1990 P. Protter Stokastisk Integrasjon og Differensial Equations. 1990. Springer, Berlin Rogers 1997 L. C.G. Rogers Arbitrage med brøkisk brune bevegelse Math. Finansiere. Volum 7. Utgave 1. 1997. s. 95105 Revuz og Yor 1999 D. Revuz. M. Yor Continuous Martingales og Brownian Motion. 1999. Springer, Berlin Salopek 1998 D. M. Salopek Toleranse mot arbitrage Stochast. Prosess. Appl. Volum 76. Utgave 2. 1998. s. 217230 Samorodnitsky og Taqqu 1994 G. Samorodnitsky. M. S. Taqqu Stable Non-Gaussian Tilfeldige prosesser. 1994. Chapman Amp Hall, New York Samuelson 1965 P. A. Samuelson Rasjonal teori om warrantprising Indust. Få til. Rev. Vol. 6. Utgave 2. 1965. s. 1331 Shiryaev 1998 Shiryaev, A. N. 1998. På arbitrage og replikering for fraktal modeller. Forskningsrapport nr. 1998-20, MaPhySto, Danmark. Stricker 1977 C. Stricker Quasimartingales, martingales lokaliteter, semimartingales, et filtrations naturelles Zeit. fr Wahrsch. und verw. Gebiete. Volum 39. Utgave 1. 1977. pp. 5564 Stricker 1983 C. Stricker Semimartingales gaussiennesapplication au problme de linnovation Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. Volum 64. Utgave 3. 1983. pp. 303312 Stricker 1984 Stricker, C. 1984. Quelques remarques sur les semimartingales Gaussiennes et le problme de linnovation. Forelesningsnotater i kontroll - og informasjonsvitenskap, vol. 61, Springer, Berlin, s. 260276. Willinger 1999 W. Willinger. M. S. Taqqu. V. Teverovsky Aksjemarkedspriser og langvarig avhengighet Finans Stochast. Volum 3. Utgave 1. 1999. s. 113 Copyright 2003 Elsevier B. V. Alle rettigheter reservert. Citerende artikler () Fra den flytende gjennomsnittlige (MA) integralrepresentasjonen av brøkisk brune bevegelse (FBM), blir klassen av brøkdelte LxE9vy-prosesser (FLPs) introdusert ved å erstatte den brune bevegelsen med en generell LxE9vy-prosess med null gjennomsnittlig, endelig varians og ingen brunskomponent. Vi presenterer forskjellige metoder for å konstruere FLP og studere andre rekkefølge og prøvebaneegenskaper. FLP har samme rekkefølge som FBM, og, avhengig av LxE9vy-mål, er de ikke alltid semimartingales. Vi vurderer integraler med hensyn til FLP og MA prosesser med den lange minnesegenskapen. Spesielt viser vi at den LxE9vy-drevne MA-prosessen med fraksjonalt integrert kjernen sammenfaller med MA-prosessen med den tilsvarende (ikke fraksjonalt integrerte) kjernen og drevet av den tilsvarende FLP. Artikkelinformasjon Datoer Først tilgjengelig i Project Euclid: 4. desember 2006 Permanent lenke til dette prosjektet projecteuclid. orgeuclid. bj1165269152 Digital Object Identifier doi: 10.3150bj1165269152 Marquardt, Tina. Fraksjonelle LxE9vy prosesser med et program til lange minneflytte gjennomsnittlige prosesser. Bernoulli 12 (2006), nr. 6, 1099-1126. doi: 10.3150bj1165269152. projecteuclid. orgeuclid. bj1165269152. Eksporter referanse Referanser 1 Barndorff-Nielsen, O. E. og Shephard, N. (2001) Non-Gaussian Ornstein-Uhlenbeck-baserte modeller og noen av deres bruksområder i finansøkonomi (med diskusjon). J. Roy. Statist. Soc. Ser. B, 63, 167-241. 2 Benassi, A. Cohen, S. og Istas, J. (2004) På grovhetsindekser for brøkfelt. Bernoulli, 10, 357-373.3 Bender, C. (2003) Integrasjon med hensyn til brøkdeltakelse og relaterte markedsmodeller. Doktorgradsoppgave, Universitetet i Konstanz. 4 Brockwell, P. J. (2001) LxE9vy-drevne CARMA prosesser. Ann. Inst. Statist. Matte. 52, 1-18. 5 Brockwell, P. J. (2004) Representasjoner av kontinuerlig ARMA-prosesser. J. Appl. Probab. 41A, 375-382.6 Brockwell, P. J. og Marquardt, T. (2005) LxE9vy drevne og fraksjonalt integrerte ARMA prosesser med kontinuerlig tidsparameter. Statist. Sinica, 15, 477-494. 7 Cohen, S. Lacaux, C. og Ledoux, M. (2005) En generell ramme for simulering av brøkfelt. Preprint, UniversitxE9 Paul Sabatier, Toulouse. lsp. ups-tlse. frFpCohen.8 Cont, R. og Tankov, P. (2004) Finansiell modellering med hoppprosesser. Boca Raton, FL: Chapmann amp HallCRC. Mathematical Reviews (MathSciNet): MR2042661 9 Decreusefond, L. og Savy, N. (2004) Forutsigbar kalkulasjon for filtrerte Poisson prosesser. Førtrykk. perso. enst. fr10 Decreusefond, L. og xDCstxFCnel, A. S. (1999) Stokastisk analyse av den brøkiske brune bevegelsen. Potensiell Anal. 10, 177-214.11 Doukhan, P. Oppenheim, G. og Taqqu, M. S. (2003) Teori og anvendelser av langvarig avhengighet, Boston: BirkhxE4user. 12 Duncan, T. E. Hu, Y. og Pasik-Duncan, B. (2000) Stokastisk kalkulasjon for brøkdelisk brunevegelse I. Teori. SIAM J. Control. Optim. 28, 582-612.13 Eberlein, E. og Raible, S. (1999) Termisk struktur modeller drevet av generelle LxE9vy prosesser. Matte. Finans, 9, 31-53.14 Fasen, V. (2004) Ekstremer av LxE9vy drevne bevegelige gjennomsnittlige prosesser med søknad i økonomi. Doktorgradsoppgave, München Universitet. 15 Gripenberg, N. og Norros, I. (1996) På prediksjonen av brøkisk brune bevegelse. J. Appl. Probab. 33, 400-410.16 Kallenberg, O. (1997) Grunnlag for moderne sannsynlighet. New York: Springer-Verlag. Matematiske anmeldelser (MathSciNet): MR1464694 17 LoxE8ve, M. (1960) Sannsynlighetsteori. Princeton, NJ: Van Nordstrand. 18 Mandelbrot, B. B. og Van Ness, J. W. (1968) Brøkbrune bevegelser, brøkdeler og applikasjoner. SIAM Rev. 10, 422-437.19 Marcus, M. B. og Rosinski, J. (2005) Kontinuitet og begrensning av uendelig delbare prosesser: en poisson-punktprosess tilnærming. J. Theoret. Probab. 18, 109-160.20 Nualart, D. (2003) Stokastisk kalkulasjon med hensyn til brøkbrune bevegelser og bruksområder. I J. M. GonzxE1lez-Barrios, J. A. LeoxB4n og A. Meda (eds), Stokastiske Modeller: Syvende Symposium om Sannsynlighet og Stokastiske Prosesser, Contemp. Matte. 336, s. 3-39. Providence, RI: American Mathematical Society. 21 Pipiras, V. og Taqqu, M. (2000) Integreringsspørsmål relatert til brøkisk brune bevegelse. Probab. Theory Related Fields, 118, 251-291.22 Protter, P. (2004) Stokastisk Integrasjon og Differensial Equations, 2 edn. New York: Springer-Verlag. Matematiske anmeldelser (MathSciNet): MR2020294 23 Rajput, B. S. og Rosinski, J. (1989) Spektrale representasjoner av uendelig delbare prosesser. Probab. Theory Related Fields, 82, 451-487.24 Rosinski, J. (1989) På veiegenskaper av visse uendelig delbare prosesser, Stokastisk prosess. Appl. 33, 73-87.25 Rosinski, J. (1990) På seriepresentasjoner av uendelig delbare tilfeldige vektorer. Ann. Probab. 18, 405-430.26 Rosinski, J. (2002) Serierepresentasjoner av LxE9vy-prosesser fra punktprosessens perspektiv. I O. E. Barndorff-Nielsen, T. Mikosch og S. Resnick (eds), LxE9vy Processes - Theory and Applications, s. 401-415. Boston: BirkhxE4user. 27 Samko, S. G. Kilbas, A. A. og Marichev, O. I. (1993) Fraksjonelle integraler og derivater. Lausanne: Gordon og Breach. Mathematical Reviews (MathSciNet): MR1347689 28 Samorodnitsky, G. og Taqqu, M. (1994) Stabile ikke-gaussiske tilfeldige prosesser: Stokastiske modeller med uendelig variasjon. New York: Chapman amp Hall.29 Sato, K. (1999) LxE9vy Prosesser og Uendelig Divisible Distributions. Cambridge: Cambridge University Press. 30 Shiryaev, A. N. (1996) Sannsynlighet. New York: Springer-Verlag. Matematiske vurderinger (MathSciNet): MR1368405 31 ZxE4hle, M. (1998) Integrasjon med hensyn til fraktalfunksjoner og stokastisk kalkulasjon. Probab. Theory Related Fields, 111, 333-374.